[ABC256Ex] I like Query Problem Solution

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题面

给定 $n,q$$n, q$，和序列 $a_n$$a_n$，给定 $q$$q$ 次操作，有三种：

1 L R x：对于 $[L,R]$$[L, R]$ 内的所有 $i$$i$ 进行 $a_i\leftarrow \lfloor {\displaystyle \frac{a_i}{x}}\rfloor$$a_i \leftarrow \lfloor \dfrac{a_i}{x} \rfloor$。

2 L R y：区间推平 $[L,R]$$[L, R]$ 为 $y$$y$。

3 L R：输出 $\sum _{i=L}^R{a}_i$$\sum_{i = L}^R a_i$。

Solution

显然势能线段树，好像不是很难写。大概就是在一般的线段树基础上维护一个区间数是否均相同的标记，然后区间整除的时候直接通过这个实现 lazytag，这个复杂度经过一系列分析总之最后就是 $O(n{\log }^{2}n)$$O(n \log^2 n)$，实现起来很容易，代码也很短，不过，这太不优雅了！

有区间推平操作，不难想到 ODT，显然会被卡，于是想到一种优化：

考虑这个的时候首先要知道一点语法知识，即对于 set 它是不同于一般的线性结构如 basic_string 的，一般的线性结构当插入删除时若改变 capacity 的话指针就会失效，但当在 set 中插入或删除元素的时候，对于非被删数元素的迭代器、指针和引用等都是不会失效的，用 cppreference 的话来说就是：

No iterators or references are invalidated.

众所周知，我们一般通过对变量的 mutable 修饰以使其可以在 set 中被修改，且按照 l 排序，所以这里我们可以将 r 也修饰为 mutable，这样的话我们便可以很方便的 $O(1)$$O(1)$ 延申区间而不损失重构所需的 $O(\log )$$O(\log)$，此时考虑，因为我们的 $1$$1$ 操作中 $x\ge 2$$x \ge 2$，所以显然对于一个数如果不推平为其它数的时候最多 $\log$$\log$ 次就会变为 $0$$0$，所以我们在维护 $1$$1$ 操作时是可以同时将所有已经为 $0$$0$ 的数合并，这样可以有效减少块数，此时似乎对于 $1$$1$ 和 $2$$2$ 操作复杂度就已经正确了，不过如果我在每 $\log$$\log$ 次之后就重新推平满，这样复杂度似乎大概可能会被卡？？不是很确定。

然后这样交上去会获得 $28/30$$28 / 30$ 的好成绩，不过依然会 T，也不难想到，我们直接拉满查询这个东西就退化成 $O(nq)$$O(nq)$ 的了。对于这个我最初的思路是，每当修改后再遇到一个 $3$$3$ 操作就重新建立一棵线段树维护所有数的值，这样在这次查询接着的所有查询就都是 $O(\log n)$$O(\log n)$ 的了，这样应该可以有效的水过一些构造的数据，当然卡的方法也很简单，只要在每次查询之间增加一次微小扰动的修改，但是这样每次都会重新建整棵树，最后复杂度还会退化为 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$\dfrac{1}{2}$ 常数的 $O(nq)$$O(nq)$。但是，经过下载数据点发现，T 掉的两个数据并没有如此设计，而是完全询问拉满，也就是说理论上这样实现之后是可以通过这道题的，估计出题人也没想到这种奇怪的做法。。。

但是我们可以尝试扩展这种做法，不难想到刚才说的做法复杂度主要浪费在了修改时只修改了一部分，而不需要整棵树重建，所以我们可以尝试在这里优化一下。不难想到，对于一般的线段树，其是支持除了 $1$$1$ 操作外所有操作的快速实现的，而 ODT 又可以将区间整除转化为区间推平，于是我们便不难想到，同时维护一棵 ODT 和一棵线段树，对于 $1$$1$ 操作在 ODT 上通过刚才说的优化转换为若干个区间推平，然后将推平作用到线段树上，对于 $2$$2$ 操作则 ODT 和线段树同时进行，对于 $3$$3$ 的查询直接在线段树上跑即可。这个的复杂度我没太想出来，不过翻了一下题解区，发现一篇 Blog [ABC256Ex] I like Query Problem 题解 和我的做法几乎相同，唯一的区别就是其在 ODT 维护区间整除的时候是直接重构的 ODT。总体来讲这两种维护方式差别是不大的，无非就是一只小 $\log$$\log$ 的区别，大佬的 Blog 最后分析的复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$$O(n \log^2 n)$，所以我的这个可能也是这个复杂度？？总之表现还不错，最终 $1.6\mathtt{\text{s}}$$1.6\texttt{s}$ 跑完。

写在后面

这个奇怪的做法虽然能过，不过还是不推荐写，毕竟实现起来比较复杂细节较多，如果写的话似乎直接写重构部分 ODT 的方法会更好实现一些。一般的线段树写法实现大概也就 $60$$60$ 行，然后这个东西我实现大概写了将近两百行。。。

Code

xxxxxxxxxx
186
1
#define _USE_MATH_DEFINES
2
#include <bits/stdc++.h>
3

4
#define PI M_PI
5
#define E M_E
6
#define npt nullptr
7
#define SON i->to
8
#define OPNEW void* operator new(size_t)
9
#define ROPNEW(arr) void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = arr; return P++;}
10

11
using namespace std;
12

13
mt19937 rnd(random_device{}());
14
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
15
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}
16

17
typedef unsigned int uint;
18
typedef unsigned long long unll;
19
typedef long long ll;
20
typedef long double ld;
21

22
template < typename T = int >
23
inline T read(void);
24

25
int N, Q;
26
int A[510000];
27

28
struct Node{
29
    int l;
30
    mutable int r;
31
    mutable ll val;
32
    friend const bool operator < (const Node &a, const Node &b){
33
        return a.l < b.l;
34
    }
35
};
36

37
class SegTree{
38
private:
39
public:
40
    ll tr[510000 << 2];
41
    ll lz[510000 << 2];
42
    #define LS (p << 1)
43
    #define RS (LS | 1)
44
    #define MID ((gl + gr) >> 1)
45
    #define SIZ(l, r) ((r) - (l) + 1)
46
public:
47
    SegTree(void){memset(lz, -1, sizeof lz);}
48
    void Pushup(int p){tr[p] = tr[LS] + tr[RS];}
49
    void Pushdown(int p, int gl, int gr){
50
        if(!~lz[p])return;
51
        lz[LS] = lz[RS] = lz[p];
52
        tr[LS] = SIZ(gl, MID) * lz[p];
53
        tr[RS] = SIZ(MID + 1, gr) * lz[p];
54
        lz[p] = -1;
55
    }
56
    void Build(int p = 1, int gl = 1, int gr = N){
57
        if(gl == gr)return tr[p] = A[gl = gr], void();
58
        Build(LS, gl, MID), Build(RS, MID + 1, gr);
59
        Pushup(p);
60
    }
61
    void Assign(int l, int r, ll v, int p = 1, int gl = 1, int gr = N){
62
        // printf("Assign ST : l = %d, r = %d, v = %lld, gl = %d, gr = %d, p = %d\n", l, r, v, gl, gr, p);
63
        if(l <= gl && gr <= r)return tr[p] = SIZ(gl, gr) * v, lz[p] = v, void();
64
        Pushdown(p, gl, gr);
65
        if(l <= MID)Assign(l, r, v, LS, gl, MID);
66
        if(MID + 1 <= r)Assign(l, r, v, RS, MID + 1, gr);
67
        Pushup(p);
68
    }
69
    ll Query(int l, int r, int p = 1, int gl = 1, int gr = N){
70
        if(l <= gl && gr <= r)return tr[p];
71
        if(r < gl || l > gr)return 0;
72
        Pushdown(p, gl, gr);
73
        return Query(l, r, LS, gl, MID) + Query(l, r, RS, MID + 1, gr);
74
    }
75
    void Desc(int siz = 3){
76
        int len(1);
77
        int cur(0);
78
        while(siz--){
79
            for(int i = 1; i <= len; ++i)printf("%lld%c", tr[++cur], i == len ? '\n' : ' ');
80
            len <<= 1;
81
        }
82
    }
83
}st;
84

85
class ODT{
86
private:
87
    set < Node > tr;
88
public:
89
    auto Insert(Node p){return tr.insert(p);}
90
    auto Split(int p){
91
        auto it = tr.lower_bound(Node{p});
92
        if(it != tr.end() && it->l == p)return it;
93
        advance(it, -1);
94
        if(p > it->r)return tr.end();
95
        int l = it->l, r = it->r;
96
        ll val = it->val;
97
        tr.erase(it);
98
        Insert(Node{l, p - 1, val});
99
        return Insert(Node{p, r, val}).first;
100
    }
101
    void Assign(int l, int r, ll val){
102
        auto itR = Split(r + 1), itL = Split(l);
103
        tr.erase(itL, itR);
104
        Insert(Node{l, r, val});
105
        st.Assign(l, r, val);
106
    }
107
    void Divide(int l, int r, ll x){
108
        auto itR = Split(r + 1), itL = Split(l);
109
        for(auto it = itL; it != itR;){
110
            it->val /= x;
111
            if(!it->val){
112
                decltype(it) nxt;
113
                for(nxt = next(it); nxt != itR; nxt = tr.erase(nxt)){
114
                    nxt->val /= x;
115
                    if(!nxt->val)it->r = nxt->r;
116
                    else{
117
                        st.Assign(it->l, it->r, it->val);
118
                        st.Assign(nxt->l, nxt->r, nxt->val);
119
                        it = next(nxt);
120
                        break;
121
                    }
122
                }
123
                if(nxt == itR)st.Assign(it->l, it->r, it->val), it = nxt;
124
            }else
125
                st.Assign(it->l, it->r, it->val), advance(it, 1);
126
        }
127
    }
128
    ll Query(int l, int r){
129
        ll ret(0);
130
        auto itR = Split(r + 1), itL = Split(l);
131
        for(auto it = itL; it != itR; ++it)
132
            ret += (it->r - it->l + 1) * it->val;
133
        return ret;
134
    }
135
    void Desc(void){
136
        printf("Describe ODT:\n");
137
        for(auto nod : tr)printf("%d ~ %d : %lld\n", nod.l, nod.r, nod.val);
138
    }
139
}odt;
140

141
int main(){
142
    // freopen("01_n_small_00.txt", "r", stdin);
143
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
144
    N = read(), Q = read();
145
    for(int i = 1; i <= N; ++i)odt.Insert(Node{i, i, A[i] = read()});
146
    st.Build();
147
    while(Q--){
148
        int opt = read();
149
        switch(opt){
150
            case 1:{
151
                int l = read(), r = read(), x = read();
152
                odt.Divide(l, r, x);
153
                break;
154
            }
155
            case 2:{
156
                int l = read(), r = read(), x = read();
157
                odt.Assign(l, r, x);
158
                break;
159
            }
160
            case 3:{
161
                int l = read(), r = read();
162
                printf("%lld\n", st.Query(l, r));
163
                break;
164
            }
165
            default: break;
166
        }
167
    }
168
    fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
169
    return 0;
170
}
171

172
template < typename T >
173
inline T read(void){
174
    T ret(0);
175
    int flag(1);
176
    char c = getchar();
177
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
178
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
179
    while(isdigit(c)){
180
        ret *= 10;
181
        ret += int(c - '0');
182
        c = getchar();
183
    }
184
    ret *= flag;
185
    return ret;
186
}

UPD

update-2022_12_08 初稿

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